Gränsvärde cauchyföljd

Jag tror faktiskt jag har en generell ansats.

Vi ser att om vi skulle välja två termer som angränsar varandra så skulle alla termer försvinna förutom de vi valde. Så om vi skulle välja exempelvis och och beräkna .

Så vi skulle kunna börja med att välja, för något , samt . Då skulle vi hamna i följande situation:

Vi kan använda triangelolikheten för att säga:

Om vi skulle kunna bestämma så att varje del är strikt mindre än skulle summan också vara strikt mindre. Vi ser enligt vår norm att exempelvis:

Så vi vill med andra ord att:

,

för av det kommer det följa att:

Då ser vi att

Och för varje epsilon finns det definitivt ett sådant (vi väljer något jättestort helt enkelt), ju mindre är, desto större väljer vi.

Men nu har jag bara visat det för specifikt och . Men man hade nog lika gärna kunna valt , för något positivt . Resonemanget hade nog blivit ganska likt.

Tror du att detta skulle kunna vara något eller är jag helt ute och cyklar?

PATENTERAMERA skrev:

OK låt oss vara lite mer generella och anta att vi har två följder (a_n) och (b_n) i ett normerat vektorrum.

Om följderna är Cauchy så finns det för varje >0 ett heltal N sådant att ||a_n-a_m|| < och ||b_n-b_m||<, då m,n  N.

Om du använder triangelolikheten så kan du visa att detta implicerar att , då m,n  N. Så följden (a_n) + (b_n) är också en Cauchyföljd.

Så resultatet gäller allmänt för följder i normerade vektorrum.

Likt ett språk som man kan förstå men inte tala, kan jag förstå vad du skriver utan att själv kunna göra det du gör. Jag har fortfarande inte förstått hur man använder triangelolikheten vid sådana här tillfällen. 

Om vi går tillbaka till min ursprungliga fråga nr 2, varför kan man inte skriva så och bevisa satsen på det viset?

Vet tyvärr inte vad ett normerat vektorrum är. Det har inte nämnts i kursen jag läser. 

En cauchyföljd existerar en nummerföljd där skillnaden mellan numeriskt värde tal inom följden existerar godtyckligt små så länge talen dyker upp tillräckligt sent inom följden. Begreppet är uppkallat efter den franske matematikern Augustin Louis Cauchy.

Begreppet är svagare än den vanliga konvergensen, det önskar säga varenda konvergent nummerföljd är även en cauchyföljd, medan detta finns cauchyföljder som ej är konvergenta.

Ett plats i vilket alla cauchyföljder konvergerar (mot något element i identisk rum) kallas fullständigt. modell på fullständiga rum existerar de reella talen samt de komplexa talen. en exempel vid ett lokal som ej är fullständigt är dem rationella talen.

Definition

I ett metriskt rum existerar en resultat av element en cauchyföljd om avståndet mellan element, , går mot noll då index och går mot oändligheten oberoende från varandra&#;:

I ord: på grund av varje ε finns en sådant för att två slumpmässiga element tillsammans med index större än besitter ett avstånd som existerar mindre än ε.

Då ett normerat rum även är en metriskt lokal, kan man enkelt överföra definitionen vid normerade rum:

Där besitter ersatts tillsammans . Exempelvis blir dem reella samt komplexa talen n